Skaičiavimo užduočių atsakymai

Šiame priede pateikiami vadovėlio skaičiavimo (taikymo lygio) užduočių atsakymai. Jie skirti savikontrolei: studentas užduotį atlieka savarankiškai, o čia patikrina, ar gautas skaičius sutampa.

Kodėl tik skaičiavimo užduotys. Skaičiavimo užduotis turi patikrinamą rezultatą – formulė, įvestys ir veiksmų seka lemia vieną teisingą atsakymą, o klaida dažniausiai yra techninė (ne tas vardiklis, praleistas narys, sumaišyti procentai ir dešimtainės dalys). Tokią klaidą studentas turi galėti rasti pats ir iš karto. Atpažinimo, analizės, sintezės ir vertinimo lygio klausimai atsakymų neturi sąmoningai: jų tikslas – ne rezultatas, o argumentas, ir vieno teisingo atsakymo juose nėra. Pateiktas „teisingas atsakymas“ tokiems klausimams ne padėtų, o užkirstų kelią savarankiškam mąstymui.

Kaip skaityti šio priedo numeraciją. Poskyrio numeris sutampa su skyriaus numeriu: C.3 – 3 skyriaus užduotys, C.14 – 14 skyriaus ir taip toliau. Todėl seka nėra ištisinė – joje yra tik tie skyriai, kurių skaičiavimo užduotys jau turi atsakymus. Taip papildant priedą naujais skyriais esami numeriai nepasikeičia.

Atsakymų tikslumas. Tarpiniai veiksmai apvalinami iki dviejų reikšminių skaitmenų po kablelio, galutinis rezultatas – iki dviejų. Jei studento skaičius nuo pateikto skiriasi paskutiniu skaitmeniu, tai paprastai yra apvalinimo, o ne metodo skirtumas. Ten, kur rezultatas priklauso nuo prielaidos, kurią studentas pasirenka pats, atsakyme nurodomas intervalas ir prielaida, kuriai jis galioja.

C.3. 3 skyrius. Verslo rizika ir pelningumas#

3.6 klausimas. Standartinis nuokrypis ir CV#

(a) Vidutinė grąža. A: $(10 + 14 - 2 + 18 + 6 + 12)/6 = 58/6 = 9{,}67\ \%$. B: $(5 + 7 + 3 + 8 + 4 + 6)/6 = 33/6 = 5{,}50\ \%$.

(b) Standartinis nuokrypis (3.1 formulė, vardiklis $n - 1 = 5$):

(c) Variacijos koeficientas (3.6 formulė): $CV_A = 6{,}98 / 9{,}67 = \mathbf{0{,}72}$; $CV_B = 1{,}87 / 5{,}50 = \mathbf{0{,}34}$.

Kuri efektyvesnė. Pagal santykinę riziką – B: vienam grąžos procentiniam punktui tenka 0,34 punkto sklaidos, o A – 0,72, t. y. daugiau nei dvigubai. Tačiau atsakymas nėra besąlygiškas: B vidutinė grąža beveik dvigubai mažesnė, o $CV$ į grąžos lygį neatsako – jis matuoja tik rizikos ir grąžos santykį. Investuotojui, kuriam svarbi absoliuti grąža, A gali likti priimtinesnė; $CV$ pasako, kad už tą grąžą jis moka neproporcingai didesne sklaida.

3.7 klausimas. CAPM su šalies premija#

Taikoma (3.7) formulė:

Kodėl Latvijos premija didesnė nei Lietuvos. Šalies rizikos premija kyla iš suvereno įsipareigojimų neįvykdymo maržos (žr. 3.2 poskyrį), o ne iš narystės valiutos sąjungoje. Latvijos Moody’s reitingas yra A3, Lietuvos – A2, todėl Damodarano 2026 m. sausio lentelėje Latvijai tenka 1,55 %, Lietuvai – 1,10 %, Estijai (A1) – 0,91 %. Bendra valiuta pašalina valiutos kurso riziką, bet ne fiskalinę ir institucinę.

DLOM privačiai įmonei. Universalaus dydžio nėra, ir tai yra dalis atsakymo. Apžvelgtų tyrimų vidutinės nuolaidos svyruoja nuo 13 iki 34 proc. (Finnerty, 2013), o Damodaranas (2012, p. 687) siūlo pradėti nuo 25 proc., kartu pabrėždamas, kad fiksuotų nuolaidų taikymas visoms privačioms įmonėms yra klaidingas kelias (ten pat, p. 684, 686). Taikoma vertės, o ne diskonto normos lygmenyje: pirma apskaičiuojama verslo vertė pagal 8,10 % normą, tada nuo jos taikoma nuolaida.

Maisto perdirbimo įmonei su stabiliais pinigų srautais ir apčiuopiamu turtu pagrįstas mažesnis už bazinį dydis; jį didina mažumos paketas, priklausomybė nuo vieno pirkėjo, neaiškus pasitraukimo kelias ar ribota pirkėjų rinka. Vertinamas ne pats procentas, o tai, ar studentas nurodo veiksnius, kuriais jį pagrindžia (žr. 13.1.5 poskyrį). Svarbu nesumaišyti dviejų dalykų: DLOM nėra nuolaida už šalies riziką – šalies rizika jau įskaičiuota per $CRP$, ir jos taikymas antrą kartą būtų dvigubas skaičiavimas.

3.8 klausimas. Diversifikacijos efektas#

Taikoma (3.4) formulė. Pastovieji nariai: $w_X^2\sigma_X^2 = 0{,}36 \times 625 = 225$; $w_Y^2\sigma_Y^2 = 0{,}16 \times 225 = 36$; $2w_Xw_Y\sigma_X\sigma_Y = 2 \times 0{,}6 \times 0{,}4 \times 25 \times 15 = 180$. Todėl $\sigma_p = \sqrt{261 + 180\rho}$:

Komentaras. Esant $\rho = 1{,}0$ portfelio nuokrypis lygus svertiniam aktyvų nuokrypių vidurkiui ($0{,}6 \times 25 + 0{,}4 \times 15 = 21\ \%$) – diversifikacijos naudos nėra visai. Kiekvienas koreliacijos sumažėjimas 0,5 punkto nuima 2,3–3,1 procentinio punkto rizikos, nors nė vieno aktyvo savybės nepasikeitė: svoriai, $\sigma_X$ ir $\sigma_Y$ visuose keturiuose variantuose tie patys. Tai ir yra (3.4) formulės esmė – riziką mažina ne aktyvų skaičius, o jų tarpusavio nepriklausomumas. Grafike ($\rho$ horizontalioje ašyje, $\sigma_p$ – vertikalioje) kreivė yra didėjanti, bet ne tiesė: kvadratinė šaknis ją lenkia taip, kad naudos prieaugis didėja artėjant prie neigiamos koreliacijos.

3.9 klausimas. Sortino ir Sharpe#

Vidutinė grąža: $(20 - 8 + 15 - 3 + 25)/5 = 49/5 = 9{,}80\ \%$. Standartinis nuokrypis (3.1, vardiklis $n - 1 = 4$): $\sigma = \sqrt{842{,}80/4} = \sqrt{210{,}70} = 14{,}52\ \%$.

(a) Sharpe’o koeficientas (3.8): $S = (9{,}80 - 2)/14{,}52 = \mathbf{0{,}54}$.

(b) Sortino koeficientas (3.5). Nukrypimai nuo $MAR = 5\ \%$: $+15$; $-13$; $+10$; $-8$; $+20$. Į nuosmukio dispersiją patenka tik du neigiami:

Kodėl rezultatai skiriasi. Sharpe’o vardiklyje yra visa sklaida, o šio projekto didžiausi nukrypimai nuo $MAR$ yra būtent teigiami (+15, +10 ir +20 procentinio punkto). Sharpe juos skaičiuoja kaip riziką, Sortino – ignoruoja. Todėl $\sigma$ (14,52 %) daugiau nei dvigubai viršija $\sigma_d$ (6,83 %), ir tas pats projektas pagal Sharpe atrodo prastesnis.

Kuris matas tinkamesnis. Šiam profiliui – Sortino: investuotojo nuostolis kyla tik iš grąžos, mažesnės už $MAR$, o svyravimas į viršų nėra rizika, už kurią reikėtų bausti. Tačiau abu matai turi tą pačią silpnybę, ir ji svarbesnė už jų skirtumą: penki stebėjimai yra per maža imtis stabiliam įverčiui, o Sortino tam jautresnis, nes jo vardiklis suskaičiuotas tik iš dviejų reikšmių (žr. pastabą „Kur Sortino koeficientas trapus“ prie (3.5) formulės). Todėl skirtumas 0,54 prieš 0,70 rodo matų logikos skirtumą, o ne tai, kad projektas yra 30 % geresnis, nei atrodė.

C.4. 4 skyrius. Rizikos analizės metodai ir rodikliai#

4.5 klausimas. Jautrumo analizė#

Taikoma (4.1) formulė: elastingumas yra santykinio rezultato pokyčio ir santykinio kintamojo pokyčio santykis, todėl procentinį NPV pokytį privalu padalyti iš procentinio kintamojo pokyčio. Tai dažniausia šios užduoties klaida – atsakyme paliekamas vien NPV pokytis.

(a) WACC. NPV pokytis: $(120\ 000 - 200\ 000)/200\ 000 = -40\ \%$. WACC pokytis: $(12 - 10)/10 = +20\ \%$. Taigi $\varepsilon_{NPV,WACC} = -40/20 = \mathbf{-2{,}0}$.

(b) Pajamos. NPV pokytis: $(280\ 000 - 200\ 000)/200\ 000 = +40\ \%$. Pajamų pokytis: $+10\ \%$. Taigi $\varepsilon_{NPV,pajamos} = 40/10 = \mathbf{+4{,}0}$.

Kuris kintamasis svarbesnis. Pajamos: jų elastingumas dvigubai didesnis absoliučia reikšme, t. y. vienas procentas pajamų pokyčio NPV paveikia dvigubai stipriau nei vienas procentas WACC pokyčio. Ženklai rodo kryptį, ne svarbą: WACC elastingumas neigiamas, nes didesnė diskonto norma mažina NPV. Tornado diagramoje pajamos stovėtų viršuje.

Svarbi išlyga: elastingumas apskaičiuotas vienam konkrečiam pokyčio dydžiui. Jei priklausomybė netiesinė, kito dydžio pokytis duos kitą elastingumą, todėl atsakyme reikia nurodyti, kuriam pokyčiui jis galioja.

4.6 klausimas. Scenarijų analizė#

(a) Tikėtina vertė (4.2 formulė):

(b) Standartinis nuokrypis (4.3 formulė; nuokrypiai skaičiuojami nuo $E(V)$, ne nuo bazinio scenarijaus):

(c) Variacijos koeficientas: $CV = 193\ 300 / 179\ 000 \approx \mathbf{1{,}08}$. Sklaida viršija patį tikėtiną rezultatą – santykinė rizika aukšta.

(d) Nuostolingumo tikimybė. Šiame modelyje nuostolingas yra tik pesimistinis scenarijus, todėl $P(NPV < 0) = \mathbf{0{,}25}$. Tai atsakymas pagal pateiktą diskretų modelį, o ne tikimybė, gauta iš tolydaus skirstinio: trys scenarijai priskiria visą tikimybę trims taškams, nors tikrovėje NPV gali būti bet kur tarp jų. Monte Carlo simuliacija tą pačią situaciją aprašytų ištisiniu skirstiniu ir duotų kitą, paprastai didesnį, nuostolingumo įvertį.

4.7 klausimas. Svertas#

Vieneto ribinis pelnas: $P - VC = 80 - 50 = 30$ EUR. Pardavimų ribinis pelnas: $5\ 000 \times 30 = 150\ 000$ EUR. $EBIT = 150\ 000 - 90\ 000 = 60\ 000$ EUR.

(a) Lūžio taškas (4.5 formulė): $Q_{BE} = 90\ 000 / 30 = \mathbf{3\ 000}$ vnt.

(b) Saugumo riba: $5\ 000 - 3\ 000 = 2\ 000$ vnt., t. y. $\mathbf{40\ \%}$ dabartinių pardavimų (pajamomis – 160 000 EUR). Pardavimai gali sumažėti 40 %, kol įmonė pradės nuostolingai veikti veiklos lygmeniu.

(c) DOL (4.6 formulė): $150\ 000 / 60\ 000 = \mathbf{2{,}5}$.

(d) DFL (4.7 formulė): $60\ 000 / (60\ 000 - 20\ 000) = \mathbf{1{,}5}$.

(e) DTL: $2{,}5 \times 1{,}5 = \mathbf{3{,}75}$.

15 % pardavimų sumažėjimas. Grynasis pelnas sumažėtų $15 \times 3{,}75 = \mathbf{56{,}25\ \%}$. Patikra tiesioginiu skaičiavimu: pardavus 4 250 vnt., ribinis pelnas 127 500 EUR, $EBIT = 37\ 500$ EUR, pelnas prieš mokesčius $37\ 500 - 20\ 000 = 17\ 500$ EUR, palyginti su 40 000 EUR, t. y. –56,25 %. Svertų sandauga ir tiesioginis skaičiavimas sutampa tiksliai, nes esant pastovioms kainai, kintamosioms ir pastoviosioms sąnaudoms bei palūkanoms pelnas prieš mokesčius yra tiesinė apimties funkcija; todėl tas pats galioja ir didesniems pokyčiams.

4.8 klausimas. VaR ir CVaR#

Duota: $V_0 = 2\ 000\ 000$ EUR, $\sigma = 2\ \%$, $\mu \approx 0$.

(a) Dienos VaR 95 % lygiu (4.8 formulė): $1{,}645 \times 0{,}02 \times 2\ 000\ 000 = \mathbf{65\ 800\ EUR}$.

(b) Dienos VaR 99 % lygiu: $2{,}326 \times 0{,}02 \times 2\ 000\ 000 = \mathbf{93\ 040\ EUR}$.

(c) CVaR 99 % lygiu (normalusis artinys prie (4.9) formulės):

Kodėl CVaR > VaR. VaR yra uodegos riba – nuostolio reikšmė, kurios 99 dienos iš 100 neviršijamos. CVaR yra uodegos vidurkis – vidutinis nuostolis tą vieną dieną, kai riba viršijama. Kadangi už ribos esantys nuostoliai visi yra ne mažesni už pačią ribą (ir dauguma didesni), jų vidurkis negali būti mažesnis už ribą. Šiuo atveju skirtumas yra apie 13 660 EUR, arba 15 % VaR: tiek informacijos apie uodegą VaR nutyli. Subadityvumas iš šios nelygybės neišplaukia: tai atskira CVaR savybė, kurios VaR ne visada turi (žr. 4.1.3 poskyrį).

C.14. 14 skyrius. Specialūs vertinimo atvejai#

Kiekvienas atsakymas – orientacinis, skirtas savikontrolei; tikslūs skaičiai priklauso nuo prielaidų, kurias studentas turi aiškiai užrašyti.

Užduotis 14.1. Startuolio vertinimas Berkuso metodu#

500 + 350 + 500 + 150 + 100 = 1 600 tūkst. EUR, t. y. 1,6 mln. EUR pre-money.

Užduotis 14.2. Scorecard metodas LT kontekste#

Daugiklis $= 0{,}30 \cdot 1{,}3 + 0{,}25 \cdot 1{,}5 + 0{,}15 \cdot 1{,}1 + 0{,}10 \cdot 0{,}9 + 0{,}10 \cdot 1{,}0 + 0{,}05 \cdot 1{,}0 + 0{,}05 \cdot 1{,}0 \approx 1{,}22$; pre-money $\approx 1{,}5 \times 1{,}22 \approx$ 1,83 mln. EUR.

Užduotis 14.3. Atidėjimo opcionas (binominis medis)#

$u \approx 1{,}419$, $d \approx 0{,}705$, $p \approx 0{,}470$; $OV$ priklauso nuo $S_0$, tipinis intervalas 6–22 mln. EUR esant skirtingoms žvalgybos prielaidoms. Sprendimo taisyklė: jei $OV > 5$ M, projektą verta pradėti su atidėjimu, o ne atmesti.

Užduotis 14.4. VC method#

$V_{post} = 100 / (1{,}30)^5 \approx 100 / 3{,}713 \approx$ 26,93 mln. EUR; $V_{pre} = 26{,}93 - 5 \approx$ 21,93 mln. EUR; VC dalis $= 5 / 26{,}93 \approx$ 18,6 %.

Užduotis 14.5. Sinergijų vertinimas#

$SYN_{bruto} = (30 + 5)/0{,}10 =$ 350 mln. EUR; $SYN_{neto} = 350 \cdot (1 - 0{,}35) - 20 \approx 227{,}5 - 20 =$ 207,5 mln. EUR; kontrolės premijos riba $= 207{,}5 / 200 \approx$ 103 % (teoriškai plati riba, bet empiriškai premijos retai viršija 30–40 % – likusi dalis yra value transfer pardavėjui).

Užduotis 14.6. LBO IRR ir MOIC dekompozicija#

$EV_{exit} = 80 \times 11 =$ 880 mln. EUR; exit equity $= 880 - 200 =$ 680 mln. EUR; MOIC $= 680 / 100 =$ 6,8×; IRR $= 6{,}8^{1/5} - 1 \approx$ 46,7 % (jei be tarpinių išmokėjimų).

Dekompozicija (orientacinė): EBITDA augimas $\approx (80 - 50) \cdot 10 / 100 = 3{,}0\times$; multiple expansion $\approx (11 - 10) \cdot 80 / 100 = 0{,}8\times$; deleveraging $\approx (400 - 200)/100 = 2{,}0\times$; pradinis MOIC $1{,}0\times + 3{,}0 + 0{,}8 + 2{,}0 \approx 6{,}8\times$ (atitinka).

C.17. 17 skyrius. Planų įgyvendinimo valdymas#

Užduotis 17.6. BSC kompozitinis balas#

$BSC_{score} = 0{,}40 \times 0{,}88 + 0{,}30 \times 0{,}72 + 0{,}20 \times 0{,}95 + 0{,}10 \times 0{,}65 = 0{,}352 + 0{,}216 + 0{,}190 + 0{,}065 = \mathbf{0{,}823}$. Interpretacija: geltona – priimtinas rezultatas, bet su silpna vieta Mokymosi perspektyvoje (balas 0,65); reikalingas korekcinis veiksmas.

Užduotis 17.7. OKR balas ir kvartalo vertinimas#

$OKR_{score} = (0{,}80 + 0{,}65 + 0{,}70 + 0{,}55)/4 = \mathbf{0{,}675}$ – priimtinas rezultatas. Tačiau jei reguliariai matomi balai virš 0,9 – tikslai per konservatyvūs („dirbtinis tikslų mažinimas“); jei žemiau 0,4 – tikslai netinkami arba prielaidos klaidingos. 0,675 – sveika „roofshot“ pasekmė.

Užduotis 17.8. Variance dekompozicija#

$PV = (48 - 50) \times 10\,000 = \mathbf{-20\,000}$ EUR (nepalankus – faktinė kaina žemesnė); $VV = (10\,000 - 9\,500) \times 50 = \mathbf{+25\,000}$ EUR (palankus – parduota daugiau nei planuota). Bendras pardavimų nuokrypis: $-20\,000 + 25\,000 = \mathbf{+5\,000}$ EUR – pelno tikslas viršytas, tačiau dekompozicija atskleidžia, kad palanki apimtis kompensavo nepalankią kainodarą; korekcinis veiksmas turėtų būti sutelktas į kainos derybų stiprinimą.

Užduotis 17.9. EVM CPI, SPI, EAC#

$EV = 0{,}35 \times 1\,000\,000 = 350\,000$ EUR; $PV = 0{,}45 \times 1\,000\,000 = 450\,000$ EUR; $CPI = 350\,000/400\,000 = \mathbf{0{,}875}$ – projektas viršija biudžetą; $SPI = 350\,000/450\,000 = \mathbf{0{,}778}$ – projektas atsilieka nuo grafiko; $EAC = 1\,000\,000/0{,}875 = \mathbf{1\,142\,857}$ EUR – galutinė prognozuojama kaina apie 1,14 mln. EUR, t. y. Apie 14 % perviršis.

Užduotis 17.10. Lean PCE ir Six Sigma $C_{pk}$#

(a) $PCE = 1{,}2/8{,}0 = \mathbf{15\ \%}$ – 85 % laiko sudaro atliekos (Muda); Lean tikslas – didinti PCE, paprastai siekiama bent 25 %.

(b) $C_{pk} = \min(102 - 100{,}2;\; 100{,}2 - 98)/(3 \times 0{,}5) = \min(1{,}8;\ 2{,}2)/1{,}5 = \mathbf{1{,}20}$. Standartas: $C_{pk} \geq 1{,}33$ – pramoninis minimumas; $C_{pk} = 2{,}0$ – Six Sigma lygis (≈ 3,4 DPMO). Procesas nepasiekia minimumo, reikalingi tobulinimai – centruoti vidurkį arba mažinti $\sigma$.

C.18. 18 skyrius. Pasitraukimo strategijos#

Užduotis 18.6. EV-to-Equity bridge#

Equity Value $= 50 - 15 + 3 - 2 - 0 =$ 36 mln. EUR. Skirtumas tarp EV ir Equity Value atspindi kapitalo struktūros įtaką: skola mažina išmoką, grynieji – didina; mažumos interesai priklauso kitiems akcininkams.

Užduotis 18.7. OLV ir FLV#

OLV $= 2{,}0 + 3{,}2 + 1{,}8 + 5{,}5 + 6{,}0 - 0{,}3 =$ 18,2 mln. EUR; FLV $= 2{,}0 + 2{,}4 + 1{,}05 + 3{,}5 + 4{,}0 - 0{,}3 =$ 12,65 mln. EUR; OLV/FLV santykis $\approx 1{,}44$, t. y. tvarkinga likvidacija atneša 44 % daugiau nei priverstinis pardavimas.

Užduotis 18.8. IRR, MOIC, DPI, RVPI ir TVPI#

(a) IRR: $90/30 = 3\times$ per 5 m. $\rightarrow$ IRR $= 3^{1/5} - 1 \approx$ 24,6 %; (b) MOIC $= 90/30 =$ 3,0×; (c) DPI $= 60/80 =$ 0,75×; (d) RVPI $= 45/80 = 0{,}56\times$; TVPI $= 0{,}75 + 0{,}56 =$ 1,31×.